Moving average iid

Lição 2: modelos MA, autocorrelação parcial, convenções de notação Leia as notas on-line da Lição 2 que se seguem. (Nota. Não há nenhuma atribuição de leitura do texto nesta semana.) Complete a Lição 2 Atribuição. Esta semana, observe uma variedade de tópicos em preparação para a visão em escala completa dos modelos de séries temporais ARIMA que bem fazem nas próximas semanas. Os tópicos desta semana são modelos MA, autocorrelação parcial e convenções de notação. Depois de concluir com êxito esta lição, você deve ser capaz de: Identificar e interpretar um modelo de MA (q) Distinguir os termos MA de um ACF Interpretar um PACF Distinguir os termos AR e os termos MA de explorar simultaneamente um ACF e PACF Reconhecer e escrever AR, MA, E polinômios ARMA 2.1 Modelos médios em movimento (modelos MA) Os modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e os termos médios móveis. Na semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor remanescente de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de lag 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define os termos médios móveis. Um termo médio móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Deixe (wt overset N (0, sigma2w)), o que significa que o w t é idêntico, distribuído independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) O modelo de média móvel da ordem q , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele flip os signos algébricos de valores de coeficientes estimados e termos (desactuados) em fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se os sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades teóricas de uma série de tempo com um modelo MA (1) Observe que o único valor diferente de zero na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma amostra ACF com autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para estudantes interessados, as provas dessas propriedades são um apêndice para este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo de MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (com o excesso de N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por um gráfico deste ACF segue. O enredo que acabamos de mostrar é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra geralmente não fornece um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito dessa trama. A amostra ACF para os dados simulados segue. Vemos um pico no intervalo 1 seguido de valores geralmente não significativos para atrasos após 1. Observe que o ACF de amostra não corresponde ao padrão teórico da MA subjacente (1), que é que todas as autocorrelações por atrasos após 1 serão 0 . Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria os mesmos recursos amplos. Propriedades terapêuticas de uma série de tempo com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Observe que os únicos valores não nulos no ACF teórico são para atrasos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos superiores são 0 . Assim, uma amostra de ACF com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas as autocorrelações não significativas para atrasos maiores indicam um possível modelo de MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são de 1 0,5 e 2 0,3. Uma vez que este é um MA (2), o ACF teórico terá valores diferentes de zero apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não-zero são A Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, os dados da amostra não se comportam tão perfeitamente quanto a teoria. Nós simulamos n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). A série de séries temporais dos dados segue. Tal como acontece com a série de séries temporais para os dados da amostra MA (1), você não pode contar muito com isso. A amostra ACF para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo de MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2 seguidos de valores não significativos para outros atrasos. Observe que, devido ao erro de amostragem, a amostra ACF não corresponde exatamente ao padrão teórico. ACF para General MA (q) Modelos Uma propriedade de modelos de MA (q) em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para os primeiros intervalos de q e autocorrelações 0 para todos os atrasos gt q. Não singularidade de conexão entre valores de 1 e (rho1) em MA (1) Modelo. No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E depois use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0.4 em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Nós restringimos os modelos de MA (1) para ter valores com valor absoluto inferior a 1. No exemplo que acabamos de dar, 1 0.5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 10.5 2 não irá. Invertibilidade de modelos de MA Um modelo de MA é considerado inversível se for algébricamente equivalente a um modelo de AR de ordem infinita convergente. Ao convergir, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0, enquanto nos movemos para trás no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em software de série temporal usado para estimar os coeficientes de modelos com termos MA. Não é algo que buscamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são apresentadas no apêndice. Nota de teoria avançada. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo inversível. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes possuem valores tais que a equação 1- 1 y-. - q e q 0 possui soluções para y que se encontram fora do círculo da unidade. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10 w t. 7w t-1. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável chamada atrasos que varia de 0 a 10. trama (Lag, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Nomeado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de parcela (o comando 3) representa atrasos em relação aos valores ACF para os atrasos 1 a 10. O parâmetro ylab rotula o eixo y e o parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF, use simplesmente o comando acfma1. A simulação e os gráficos foram feitos com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 acrescenta 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) dados) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostra simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, principal Simulated MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Variance: (texto (texto) (mu wt theta1 w) Texto de 0 texto (wt) (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 . A razão é que, por definição de independência do peso. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque o w t tem 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo de MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de AR de ordem infinita que converge para que os coeficientes de AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente de volta no tempo. Bem, demonstre invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substituímos a relação (2) para w t-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) No momento t-2. A equação (2) torna-se então substituímos a relação (4) para w t-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Se continuássemos ( Infinitamente), obteríamos o modelo de AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Note, no entanto, que se 1 1, os coeficientes que multiplicam os atrasos de z aumentarão (infinitamente) de tamanho à medida que avançamos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo de MA reversível (1). Modelo de ordem infinita MA Na semana 3, veja que um modelo de AR (1) pode ser convertido em um modelo de MA de ordem infinita: (xt - mu wt phi1w phi21w dots phik1 w dots sum phij1w) Este somatório de termos de ruído branco passados ​​é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos que retornam no tempo. Isso é chamado de uma ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Recorde na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é aquele 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Este último passo usa um fato básico sobre séries geométricas que requerem (phi1lt1) caso contrário a série diverge. 2.2 Função de autocorrelação parcial (PACF) Em geral, uma correlação parcial é uma correlação condicional. É a correlação entre duas variáveis ​​sob o pressuposto de que conhecemos e levamos em consideração os valores de algum outro conjunto de variáveis. Por exemplo, considere um contexto de regressão em que y variável de resposta e x 1. X 2. E x 3 são variáveis ​​preditoras. A correlação parcial entre y e x 3 é a correlação entre as variáveis ​​determinadas levando em consideração como ambos y e x 3 estão relacionados a x 1 e x 2. Na regressão, esta correlação parcial pode ser encontrada correlacionando os resíduos de duas regressões diferentes: (1) Regressão em que nós predizemos y de x 1 e x 2. (2) regressão em que prevemos x 3 de x 1 e x 2. Basicamente, correlacionamos as partes de y e x 3 que não estão previstas por x 1 e x 2. Mais formalmente, podemos definir a correlação parcial que acabamos de descrever como Nota: isto também é como os parâmetros de um modelo de regressão são interpretados. Pense na diferença entre a interpretação dos modelos de regressão: (y beta0 beta1x2 text y beta0beta1xbeta2x2) No primeiro modelo, 1 pode ser interpretado como a dependência linear entre x 2 e y. No segundo modelo, 2 seria interpretado como a dependência linear entre x 2 e y COM a dependência entre x e y já contabilizados. Para uma série temporal, a autocorrelação parcial entre x t e x t-h é definida como a correlação condicional entre x t e x t-h. Condicional em x t-h1. X t-1. O conjunto de observações entre os pontos de tempo t e th. A autocorrelação parcial de 1ª ordem será definida para igualar a autocorrelação de 1ª ordem. A autocorrelação parcial de 2ª ordem (lag) é Esta é a correlação entre valores de dois períodos de tempo condicionados ao conhecimento do valor entre eles. (By the way, as duas variâncias no denominador serão iguais em uma série estacionária.) A autocorrelação parcial de 3ª ordem (lag) é, e assim por diante, para qualquer atraso. Tipicamente, as manipulações de matriz que têm a ver com a matriz de covariância de uma distribuição multivariada são usadas para determinar estimativas das autocorrelações parciais. Alguns fatos úteis sobre os padrões PACF e ACF A identificação de um modelo AR é muitas vezes melhor feita com o PACF. Para um modelo AR, o PACF teórico desliga após a ordem do modelo. A frase desliga significa que, em teoria, as autocorrelações parciais são iguais a 0 além desse ponto. Dito de outra forma, o número de autocorrelações parciais não-zero dá a ordem do modelo AR. Por ordem do modelo, queremos dizer o atraso mais extremo de x que é usado como preditor. Exemplo. Na Lição 1.2, identificamos um modelo de AR (1) para uma série temporal de números anuais de terremotos mundiais com uma magnitude sísmica superior a 7.0. A seguir está o exemplo de PACF para esta série. Observe que o primeiro valor de atraso é estatisticamente significativo, enquanto as autocorrelações parciais para todos os outros atrasos não são estatisticamente significantes. Isso sugere um possível modelo AR (1) para esses dados. A identificação de um modelo de MA é muitas vezes melhor feita com o ACF em vez do PACF. Para um modelo de MA, o PACF teórico não desliga, mas, em vez disso, se encaixa em direção a 0 de alguma forma. Um padrão mais claro para um modelo de MA está no ACF. O ACF terá autocorrelações não-zero somente em atrasos envolvidos no modelo. A Lição 2.1 incluiu a seguinte amostra ACF para uma série simulada de MA (1). Observe que a primeira autocorrelação de atraso é estatisticamente significante enquanto todas as auto-correlações subseqüentes não são. Isso sugere um possível modelo MA (1) para os dados. Nota de teoria. O modelo utilizado para a simulação foi de x t 10 w t 0,7 w t-1. Em teoria, a primeira autocorrelação 1 (1 1 2) .7 (1.7 2) .4698 e autocorrelações para todos os outros atrasos 0. O modelo subjacente usado para a simulação MA (1) na Lição 2.1 foi xt 10 wt 0.7 w t -1. A seguir está o PACF teórico (autocorrelação parcial) para esse modelo. Observe que o padrão gradualmente diminui para 0. Nota R: O PACF que acabou de ser mostrado foi criado em R com esses dois comandos: ma1pacf ARMAacf (ma c (.7), lag. max 36, pacfTRUE) trama (ma1pacf, typeh, main Theoretical PACF de MA (1) com theta 0.7) 2.3 Convenções de notação Os modelos de séries temporais (no domínio do tempo) envolvem termos atrasados ​​e podem envolver dados diferenciados para explicar a tendência. Existem anotações úteis usadas para cada um. Usando B antes de um valor da série x t ou de um termo de erro w t significa mover esse elemento de volta uma vez. Por exemplo, uma potência de B significa para aplicar repetidamente o retrocesso para retroceder uma série de períodos de tempo que são iguais à potência. Como exemplo, (x) representa x t duas unidades no tempo. (Bk xt x) representa x t k unidades no tempo. O operador de retrocesso B não opera em coeficientes porque são quantidades fixas que não se movem no tempo. Por exemplo, B 1 1. Os Modelos AR e os modelos RA Polynomial AR podem ser escritos de forma compacta usando um polinômio AR envolvendo coeficientes e operadores de mudança de turno. Deixe p a ordem máxima (lag) dos termos AR no modelo. A forma geral para um polinômio AR é (Phi (B) 1-phi1B-dots - phip Bp). Usando o polinômio AR, uma maneira de escrever um modelo AR é iid N (0, w 2). Para um AR (1), o atraso máximo 1 para o polinômio AR e o modelo pode ser escrito ((1-phi1B) xt delta wt). Para verificar se isso funciona, podemos multiplicar o lado esquerdo para obter (xt - phi1x delta wt). Em seguida, balance o - 1 x t-1 para o lado direito e nós obtemos (xt delta phi1x wt). Um modelo AR (2) é (xt delta phi1x phi2x wt). Ou seja, x t é uma função linear dos valores de x nos dois atrasos anteriores. O polinômio AR para um modelo AR (2) é o modelo AR (2) pode ser escrito como ((1-phi1B-phi2B2) xt delta wt), ou como (Phi (B) xt delta wt) com uma explicação adicional que (Phi (B) 1-phi1B-phi2B2). Um modelo AR (p) é (xt delta phi1x phi2x. Phip x wt), onde (phi1 phi2 phip) são constantes e podem ser superiores a 1. (Lembre-se (phi1 lt 1) de um modelo AR (1) .) Aqui xt é uma função linear dos valores de x nos atrasos prévios de p. Uma notação abreviada para o polinômio AR é (B) e um modelo AR geral pode ser escrito como (Phi (B) xt delta wt). Claro, você precisaria especificar a ordem do modelo em algum lugar do lado. Um modelo MA (1) (xt mu wt theta1 w) poderia ser escrito como (xt mu (1theta1B) wt). Um fator como (1theta1B) é chamado de polinômio MA, e é denotado como (Theta (B)). Um modelo de MA (2) é definido como (xt mu wt theta1 w theta2 w) e pode ser escrito como (xt mu (1theta1Btheta2B2) wt). Aqui, o polinômio MA é (Theta (B) (1theta1Btheta2B2)). Em geral, o polinômio MA é (Theta (B) (1theta1Bdots thetaqBq)). Onde (q) ordem máxima (atraso) para termos MA no modelo. Em geral, podemos escrever um modelo de MA como (xt-mu Theta (B) wt). Modelos com ambos os termos AR e MA Um modelo que envolve os termos AR e MA pode ser escrito (Phi (B) (xt-mu) Theta (B) wt) ou, possivelmente, mesmo Nota: Muitos livros didáticos e programas de software definem o polinômio MA com Sinais negativos em vez de sinais positivos como acima. Isso não altera as propriedades do modelo, ou com uma amostra, o ajuste geral do modelo. Isso só altera os sinais algébricos dos coeficientes MA. Verifique sempre para ver como seu software está definindo o polinômio MA. Por exemplo, o polinômio MA (1) 1 1 B ou 1 - 1 B Muitas vezes, a diferenciação é usada para explicar a não-estacionança que ocorre na forma de tendência e / ou sazonalidade. Uma notação alternativa para uma diferença é (nabla xt (1-B) xt xt-x). Um subíndice define uma diferença de atraso igual ao subíndice. Por exemplo, (nabla xt xt - x). Este tipo de diferença é freqüentemente usado com dados mensais que exibem sazonalidade. A ideia é que as diferenças em relação ao ano anterior podem ser, em média, aproximadamente as mesmas por cada mês de um ano. Um sobrescrito diz para repetir a diferenciação do número de vezes especificado. Como exemplo, (nabla2 xt (1-B) 2xt (1-2BB2) xt xt -2x x). Em palavras, esta é uma primeira diferença das primeiras diferenças.2.1 Modelos médios móveis (modelos MA) Os modelos de séries temporais conhecidos como modelos ARIMA podem incluir termos autorregressivos e termos médios móveis. Na semana 1, aprendemos um termo autorregressivo em um modelo de séries temporais para a variável x t é um valor remanescente de x t. Por exemplo, um termo autorregressivo de lag 1 é x t-1 (multiplicado por um coeficiente). Esta lição define os termos médios móveis. Um termo médio móvel em um modelo de séries temporais é um erro passado (multiplicado por um coeficiente). Deixe (wt overset N (0, sigma2w)), o que significa que o w t é idêntico, distribuído independentemente, cada um com uma distribuição normal com média 0 e a mesma variância. O modelo de média móvel de 1ª ordem, denotado por MA (1) é (xt mu wt theta1w) O modelo de média móvel de 2ª ordem, denotado por MA (2) é (xt mu wt theta1w theta2w) O modelo de média móvel da ordem q , Denotado por MA (q) é (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Nota. Muitos livros didáticos e programas de software definem o modelo com sinais negativos antes dos termos. Isso não altera as propriedades teóricas gerais do modelo, embora ele flip os signos algébricos de valores de coeficientes estimados e termos (desactuados) em fórmulas para ACFs e variâncias. Você precisa verificar seu software para verificar se os sinais negativos ou positivos foram usados ​​para escrever corretamente o modelo estimado. R usa sinais positivos em seu modelo subjacente, como fazemos aqui. Propriedades teóricas de uma série de tempo com um modelo MA (1) Observe que o único valor diferente de zero na ACF teórica é para o atraso 1. Todas as outras autocorrelações são 0. Assim, uma amostra ACF com autocorrelação significativa apenas no intervalo 1 é um indicador de um possível modelo MA (1). Para estudantes interessados, as provas dessas propriedades são um apêndice para este folheto. Exemplo 1 Suponha que um modelo de MA (1) seja x t 10 w t .7 w t-1. Onde (com o excesso de N (0,1)). Assim, o coeficiente 1 0,7. O ACF teórico é dado por um gráfico deste ACF segue. O enredo que acabamos de mostrar é o ACF teórico para um MA (1) com 1 0,7. Na prática, uma amostra geralmente não fornece um padrão tão claro. Usando R, simulamos n 100 valores de amostra usando o modelo x t 10 w t .7 w t-1 onde w t iid N (0,1). Para esta simulação, segue-se um gráfico de séries temporais dos dados da amostra. Não podemos dizer muito dessa trama. A amostra ACF para os dados simulados segue. Vemos um pico no intervalo 1 seguido de valores geralmente não significativos para atrasos após 1. Observe que o ACF de amostra não corresponde ao padrão teórico da MA subjacente (1), que é que todas as autocorrelações por atrasos após 1 serão 0 . Uma amostra diferente teria uma ACF de amostra ligeiramente diferente mostrada abaixo, mas provavelmente teria os mesmos recursos amplos. Propriedades terapêuticas de uma série de tempo com um modelo MA (2) Para o modelo MA (2), as propriedades teóricas são as seguintes: Observe que os únicos valores não nulos no ACF teórico são para atrasos 1 e 2. As autocorrelações para atrasos superiores são 0 . Assim, uma amostra de ACF com autocorrelações significativas nos intervalos 1 e 2, mas as autocorrelações não significativas para atrasos maiores indicam um possível modelo de MA (2). Iid N (0,1). Os coeficientes são de 1 0,5 e 2 0,3. Uma vez que este é um MA (2), o ACF teórico terá valores diferentes de zero apenas nos intervalos 1 e 2. Os valores das duas autocorrelações não-zero são A Um gráfico do ACF teórico segue. Como quase sempre é o caso, os dados da amostra não se comportam tão perfeitamente quanto a teoria. Nós simulamos n 150 valores de amostra para o modelo x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Onde w t iid N (0,1). A série de séries temporais dos dados segue. Tal como acontece com a série de séries temporais para os dados da amostra MA (1), você não pode contar muito com isso. A amostra ACF para os dados simulados segue. O padrão é típico para situações em que um modelo de MA (2) pode ser útil. Existem dois picos estatisticamente significativos nos intervalos 1 e 2 seguidos de valores não significativos para outros atrasos. Observe que, devido ao erro de amostragem, a amostra ACF não corresponde exatamente ao padrão teórico. ACF para General MA (q) Modelos Uma propriedade de modelos de MA (q) em geral é que existem autocorrelações diferentes de zero para os primeiros intervalos de q e autocorrelações 0 para todos os atrasos gt q. Não singularidade de conexão entre valores de 1 e (rho1) em MA (1) Modelo. No modelo MA (1), para qualquer valor de 1. O recíproco 1 1 dá o mesmo valor para Como exemplo, use 0,5 para 1. E depois use 1 (0,5) 2 para 1. Você obterá (rho1) 0.4 em ambos os casos. Para satisfazer uma restrição teórica chamada invertibilidade. Nós restringimos os modelos de MA (1) para ter valores com valor absoluto inferior a 1. No exemplo que acabamos de dar, 1 0.5 será um valor de parâmetro permitido, enquanto que 1 10.5 2 não irá. Invertibilidade de modelos de MA Um modelo de MA é considerado inversível se for algébricamente equivalente a um modelo de AR de ordem infinita convergente. Ao convergir, queremos dizer que os coeficientes de AR diminuem para 0, enquanto nos movemos para trás no tempo. Invertibilidade é uma restrição programada em software de série temporal usado para estimar os coeficientes de modelos com termos MA. Não é algo que buscamos na análise de dados. Informações adicionais sobre a restrição de invertibilidade para modelos MA (1) são apresentadas no apêndice. Nota de teoria avançada. Para um modelo MA (q) com um ACF especificado, existe apenas um modelo inversível. A condição necessária para a invertibilidade é que os coeficientes possuem valores tais que a equação 1- 1 y-. - q e q 0 possui soluções para y que se encontram fora do círculo da unidade. Código R para os Exemplos No Exemplo 1, traçamos o ACF teórico do modelo x t 10 w t. 7w t-1. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados para traçar o ACF teórico foram: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 lags de ACF para MA (1) com theta1 0,7 lags0: 10 cria uma variável chamada atrasos que varia de 0 a 10. trama (Lag, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (1) com theta1 0,7) abline (h0) adiciona um eixo horizontal ao gráfico O primeiro comando determina o ACF e o armazena em um objeto Nomeado acfma1 (nossa escolha de nome). O comando de parcela (o comando 3) representa atrasos em relação aos valores ACF para os atrasos 1 a 10. O parâmetro ylab rotula o eixo y e o parâmetro principal coloca um título no gráfico. Para ver os valores numéricos do ACF, use simplesmente o comando acfma1. A simulação e os gráficos foram feitos com os seguintes comandos. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) Simula n 150 valores de MA (1) xxc10 acrescenta 10 para fazer a média 10. Padrões de simulação significa 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) dados) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF para dados de amostra simulados) No Exemplo 2, traçamos o ACF teórico do modelo xt 10 wt .5 w t-1 .3 w t-2. E depois simulou n 150 valores desse modelo e traçou as séries temporais da amostra e a amostra ACF para os dados simulados. Os comandos R utilizados foram acfma2ARMAacf (mac (0.5,0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, ACF principal para MA (2) com theta1 0,5, Theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, principal Simulated MA (2) Series) acf (x, xlimc (1,10), MainACF para dados simulados de MA (2) Apêndice: Prova de propriedades de MA (1) Para estudantes interessados, aqui estão as provas para propriedades teóricas do modelo MA (1). Variance: (texto (texto) (mu wt theta1 w) Texto de 0 texto (wt) (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Quando h 1, a expressão anterior 1 w 2. Para qualquer h 2, a expressão anterior 0 . A razão é que, por definição de independência do peso. E (w k w j) 0 para qualquer k j. Além disso, porque o w t tem 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2. Para uma série de tempo, aplique este resultado para obter o ACF fornecido acima. Um modelo de MA reversível é aquele que pode ser escrito como um modelo de AR de ordem infinita que converge para que os coeficientes de AR convergem para 0 à medida que nos movemos infinitamente de volta no tempo. Bem, demonstre invertibilidade para o modelo MA (1). Em seguida, substituímos a relação (2) para w t-1 na equação (1) (3) (zt wt theta1 (z - theta1w) wt theta1z - theta2w) No momento t-2. A equação (2) torna-se então substituímos a relação (4) para w t-2 na equação (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - theta21 (z - theta1w) wt theta1z - theta12z theta31w) Se continuássemos ( Infinitamente), obteríamos o modelo de AR de ordem infinita (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z dots) Note, no entanto, que se 1 1, os coeficientes que multiplicam os atrasos de z aumentarão (infinitamente) de tamanho à medida que avançamos Tempo. Para evitar isso, precisamos de 1 lt1. Esta é a condição para um modelo de MA reversível (1). Modelo de ordem infinita MA Na semana 3, veja que um modelo de AR (1) pode ser convertido em um modelo de MA de ordem infinita: (xt - mu wt phi1w phi21w dots phik1 w dots sum phij1w) Este somatório de termos de ruído branco passados ​​é conhecido Como a representação causal de um AR (1). Em outras palavras, x t é um tipo especial de MA com um número infinito de termos que retornam no tempo. Isso é chamado de uma ordem infinita MA ou MA (). Uma ordem finita MA é uma ordem infinita AR e qualquer ordem finita AR é uma ordem infinita MA. Recorde na Semana 1, observamos que um requisito para um AR estacionário (1) é aquele 1 lt1. Vamos calcular o Var (x t) usando a representação causal. Este último passo usa um fato básico sobre séries geométricas que requerem (phi1lt1) caso contrário a série diverge. Dados de dados NavigationIID-1.6 Os dados de estimativa representam o número médio de casos confirmados, prováveis ​​e desconhecidos (a definição de caso de idade A para casos confirmados e prováveis ​​de tosse convulsa (incluindo casos identificados nas configurações de surto) está disponível no CDC. As estimativas são de cinco anos Média de casos confirmados e prováveis ​​de tosse convulsa relatada ao Sistema Nacional de Vigilância de Doenças Notificáveis ​​(NNDSS). Alterações entre HP2010 e HP2020: Este objetivo difere do Objetivo 14-01g Healthy People 2010, na medida em que a medida foi revisada de um período anual para um 5- Em média, a média móvel do ano. Além disso, a população-alvo foi revisada de crianças menores de 7 anos para crianças menores de 1 ano Referências Recursos adicionais sobre o objetivo Centros para Controle e Prevenção de Doenças (CDC). Definições de casos para doenças infecciosas sob vigilância da saúde pública Relatório Semanal de Morbidade e Mortalidade 46 (RR-10), 1997. (Consulte a referência para definições de casos atualizadas).